勾股定理难题

在我们初中的时候，我们大家会在数学学习中接触到一个很重要的定理，那就是勾股定理，作为一个基本的几何定理，现在很多人认为它是古希腊的毕达哥拉斯所证明的，事实上是在我们古代中国就由商朝的商高发现并且证明出来了，即使是在现在社会，勾股定理也在我们当今的学习和生活中发挥着重要的作用，因此勾股定理成为了我们初中学习的一个重点，那么勾股定理难题都有哪些呢?

1.等边三角形的高是h，则它的面积是( )

A. h2　　　　　　B. h2　　　　　C. h2　　　　　D. h2

答案：B

说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD=h，因为∠B=60º，AD⊥BC，所以∠BAD=30º;设BD=x，则AB=2x，且有x2+h2=(2x)2，解之得x= h，因为BC=2BD= h，所以SΔABC= BC•AD= • h•h= h2，所以答案为B.

2.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )

A. 12cm2 B. 10cm 2 C. 8cm2 D. 6cm2

答案：D

说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：

由①得x+y=7③，由③得(x+y)2=72，即x2+y2+2xy=49，因为x2+y2=25，所以25+2xy=49，即xy=12，这样就有S= xy = ×12=6，所以答案为D.

3.下列命题是真命题的个数有( )

①直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为

②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为

③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1

④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案：D

说明：①因为另一条直角边长的平方为( )2−12=3−1=2，所以另一条边长为 是正确的;②设两直角边为k和2k，而由已知 •k•2k=2，所以k= ，故两直角边长为 ，2 ，所以斜边长为 = ，故②正确;③因为(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，故③正确;④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为 =5，故④正确;所以答案为D.

4.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是( )

A. + 2m　　　　　B. +m　　　　　C.2( +m)　　　　　D.2 +m

答案：C

说明：如图，设AC=x，BC=y，则 xy=S;因为CD为中线，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x2+y2=( 2m)2=4m2，(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S，即x+y= ，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案为C.

5.如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )

A.10 −15　　　　　B.10−5 　　　　　C.5 −5　　　　　D.20−10

答案：D

说明：设DC=x，因为∠C=60º，ED⊥BC，所以EC=2x

因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE=DE=5−2x

由勾股定理得：x2+(5−2x)2=(2x)2，即x2−20x+25=0，解得x= =10±5

因为DC

6.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

答案：C

说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2 ;②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2 ，所以a的取值可以有2个，答案为C.

7.小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米

A.0.7 B. 0.8 C.0.9 D.1.0

答案：A

说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为 = = =0.7，答案为A.

8.一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )

A.6 B. 8 C.10 D.12

答案：C

说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C.

9.如图，在ΔABC中，若AB>AC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2−AC2=2BC·EF

证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2

在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC2=AF2+FC2

所以AB2−AC2=BF2−FC2=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC)

因为BF=BE+EF，FC=EC−EF，BE=EC

所以BF−FC=2EF

所以AB2−AC2=BC•2EF=2BC•EF

10.如图，ΔABC中，∠A=90º，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC=9，FC=3，求 AB.

解：如图，作AD⊥BC

因为EF⊥BC，所以AD//EF

因为E为AC中点，所以F为DC的中点

因为FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6

因为BC=9，所以BD=9−6=3

设EC=x，则AC=2x

由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，AB2=AD2+BD2

所以AC2−AB2=DC2−BD2①

即AC2−AB2=62−32=27

因为∠A=90º，由勾股定理得AB2+AC2=BC2=81②

由②−①得2AB2=81−27=54，所以AB2=27，即AB= =3

通过对于勾股定理的学习和使用，我们发现，勾股定理要想达到很好的应用确实是需要我们花费相当大的精力来练习的，所以在平时的学习中，我们大家在面对这些勾股定理难题的时候，切不可轻易放弃，应该多加努力将这些难题给解出来，毕竟这对大家是一个很好的训练。